Modul 7 Kalkulin 2024 Genap: Transformasi Linier Umum

Kembali ke Kalkulin

Pengantar, Komposisi, Invers

Bentuk Matriks, Similaritas

Rank dan Nullitas

Misalkan ada matriks berikut.

A = {{1, 2, 3}, {2, 4, 6}}
{{1, 2, 3}, {2, 4, 6}}
A // MatrixForm
Output

(Perhatikan bahwa kedua baris di matriks A bergantung linier.)

Matriks ini berukuran 2 x 3:

Dimensions[A]
{2, 3}

Sehingga banyaknya kolom adalah elemen kedua dari dimensi:

Dimensions[A][[2]]
3

Berdasarkan Rank-Nullity Theorem,

\[\text{Rank}(A) + \text{Nullity}(A) = \text{dimensi prapeta/domain; banyaknya kolom di matriks A}\]

Menentukan Rank dan Nullitas secara “manual”

Bentuk eselon baris tereduksi dari A adalah sebagai berikut.

RowReduce[A] // MatrixForm
Output

Secara definisi, rank adalah dimensi dari ruang kolom (yang ternyata sama dengan dimensi dari ruang baris, berdasarkan teorema). Dari bentuk eselon baris tereduksi, kita bisa menghitung rank sebagai banyaknya leading ones (satu utama), yaitu hanya ada satu.

\[\text{Rank}(A) = 1\]

Secara definisi, nullity adalah dimensi dari ruang null, yaitu ruang solusi dari \(A\textbf{x} = \textbf{0}\). Sehingga, kita bisa menentukan solusi (nontrivial) dari \(A\textbf{x} = \textbf{0}\) terlebih dahulu:

Reduce[
    A.{x1,x2,x3} == {0,0},
    {x1,x2,x3}
]
Output

Solusinya melibatkan dua variabel bebas yaitu \(x_1\) dan \(x_2\), sehingga ruang null berdimensi dua. Maka, nullity atau nullitas dari \(A\) adalah 2 (dua).

\[\text{Nullity}(A) = 2\]

Hasil yang kita temukan sesuai dengan Rank-Nullity Theorem:

1 + 2 == Dimensions[A][[2]]
Output

Menentukan Rank dan Nullitas secara otomatis

Untuk menentukan rank suatu matriks, gunakan MatrixRank

MatrixRank[A]
1

Untuk menentukan nullity, kita bisa memanfaatkan Rank-Nullity Theorem:

\[\text{Nullity}(A) = \text{(banyaknya kolom di matriks A)} - \text{Rank}(A)\]

Dimensions[A][[2]] - MatrixRank[A]
2

Cara lain, ada ResourceFunction bernama Nullity yang bisa kita download dari Wolfram Function Repository (https://reference.wolfram.com/language/guide/WolframFunctionRepository.html) seperti berikut:

Nullity = ResourceFunction["Nullity"]
Output

(Sayangnya, apabila versi Wolfram Mathematica yang sedang digunakan terlalu kuno, akan muncul error. Apabila error, alternatif untuk mencoba hal ini adalah menggunakan Wolfram Cloud.

Nullity[A]
2

Kita bisa lihat dengan jelas bahwa Rank-Nullity Theorem berlaku untuk matriks A ini:

MatrixRank[A] + Nullity[A] == Dimensions[A][[2]]
Output