Tugas 2 Praktikum Persamaan Diferensial Numerik 2024 Genap: Masalah Nilai Batas PDB Numerik

Semester Genap Tahun Ajaran 2023/2024

Kembali ke Persamaan Diferensial Numerik

Petunjuk Umum

1. Tugas ini dikerjakan secara individu.

2. Terdapat dua (2) soal yang harus dijawab.

3. File-file yang harus diunggah terdiri dari:

   1. Beberapa function file sesuai kebutuhan. Penamaan untuk function file dibebaskan (tentunya nama fungsinya harus menyesuaikan), selama masih relevan dengan isi fungsinya (misalnya, dilarang menamakan function file adamsorde5.m jika isinya adalah metode Runge-Kutta).

   2. Sejumlah script file sesuai ketentuan soal.

   3. Satu file .pdf (format penamaan: “penjelasan.pdf”) yang berisi penjelasan terkait jawaban kalian, sesuai permintaan soal. Pembuatannya bebas apakah menggunakan Word, LaTeX, atau yang lainnya. Jangan lupa tuliskan nama lengkap, NPM, kelas, dan judul “Tugas 2 Persamaan Diferensial Numerik 2024 Genap”.

4. Semua file disatukan dalam satu file .zip dengan format penamaan:

   [Nama Lengkap]_[NPM]_[Kelas SIAK]_Tugas 2_Prak PDNum.zip

   Contoh: Sung Jinwoo_2201234567_C_Tugas 2_Prak PDNum.zip

5. Batas pengumpulan tugas ini adalah Jumat, 14 Juni Minggu, 16 Juni 2024, pukul 23.59 WIB. Tugas dikumpulkan sesuai dengan kelas SIAK (link akan selalu sama untuk semua tugas praktikum PDNum):

   Kelas A: https://forms.gle/sdSZAfFZJkNu9rK68

   Kelas B: https://forms.gle/wdvZJ4c1UvifV5gEA

   Keterlambatan akan dikenakan pengurangan nilai.

6. Dilarang dengan keras melakukan plagiarisme, baik mencontek ataupun dicontek. Jika terdapat mahasiswa yang terindikasi melakukan plagiarisme, maka mahasiswa tersebut memperoleh nilai 0 untuk tugas ini. Namun, Anda sangat dianjurkan memanfaatkan apapun yang ada di modul praktikum.

7. Apabila ada pertanyaan, harap hubungi CP:

   Bisma (LINE: bisma_joyosumarto)

   Karina (LINE: karinac12)

Soal

Tugas ini terdiri dari soal 1a-1d dan 2a-2e.

1. Diberikan masalah nilai batas (MNB) linier / Linear Boundary Value Problem (BVP)

   $$y^{″}=-4x^{(-1)}{y}^{\prime }-2x^{(-2)}y+2x^{(-2)}\ln (x),1\le x\le 2,$$

   $$y(1)=-\frac{1}{2},y(2)=\ln 2$$

   dan diketahui solusi eksaknya adalah

   $$y(x)=\ln (x)+\frac{5}{x}-\frac{4}{x^2}-\frac{3}{2}$$

   Dengan $h=0.1$,

   1. Di file penjelasan, cocokkan PDB di atas dengan bentuk umum masalah nilai batas linier

      $$y^{″}=p(x)y^{\prime }+q(x)y+r(x),a\le x\le b,$$

      $$y(a)=\alpha ,y(b)=\beta$$

      yaitu tentukan fungsi $p(x)$, fungsi $q(x)$, fungsi $r(x)$, nilai $a$, nilai $b$, nilai $\alpha$, dan nilai $\beta$.

   2. Buatlah script file soal_1b.m berisi penggunaan metode linear shooting untuk mengaproksimasi solusi dari MNB tersebut. Bandingkan dengan solusi analitik (cukup $y(x)$ saja), sertakan perhitungan error. Lampirkan tabel dan gambar grafiknya di file penjelasan, serta perhitungan nilai $N$.

      Hint: untuk metode shooting (linier maupun nonlinier),

      $$h=\frac{b-a}{N}$$

   3. Buatlah script file soal_1c.m berisi penggunaan metode linear finite difference untuk mengaproksimasi solusi dari MNB tersebut. Bandingkan dengan solusi analitik, sertakan perhitungan error. Lampirkan tabel dan gambar grafiknya di file penjelasan, serta perhitungan nilai $N$.

      Hint: untuk metode finite difference untuk masalah nilai batas (linier maupun nonlinier),

      $$h=\frac{b-a}{N+1}$$

   4. Di file penjelasan, berikan argumen Anda: di antara kedua metode tersebut, apakah ada metode yang jelas lebih baik untuk masalah ini, ataukah sama-sama cukup baik?

2. Diberikan masalah nilai batas nonlinier

   $$y^{″}=\frac{1}{2}(1-{\left(y^{\prime }\right)}^2-y\sin x),0\le x\le \pi$$

   $$y(0)=2,y(\pi )=2$$

   dan diketahui solusi eksaknya adalah

   $$y(x)=2+\sin x$$

   Dengan toleransi ${10}^{-4}$ dan $h=\frac{\pi }{20}$,

   1. Di file penjelasan, cocokkan PDB di atas dengan bentuk umum masalah nilai batas

      $$y^{″}=f(x,y,y^{\prime }),a\le x\le b,$$

      $$y(a)=\alpha ,y(b)=\beta$$

      yaitu tentukan fungsi $f(x,y,y^{\prime })$, nilai $a$, nilai $b$, nilai $\alpha$, dan nilai $\beta$.

   2. Di file penjelasan, uraikan perhitungan $f_y(x,y,y^{\prime })$ (yaitu $\frac{\partial f}{\partial y}(x,y,y^{\prime })$) dan $f_{y^{\prime }}(x,y,y^{\prime })$ (yaitu $\frac{\partial f}{\partial y^{\prime }}(x,y,y^{\prime })$) secara analitik (turunan parsial).

   3. Buatlah script file soal_2c.m berisi penggunaan metode nonlinear shooting untuk mengaproksimasi solusi dari MNB tersebut. Bandingkan dengan solusi analitik (cukup $y(x)$ saja), sertakan perhitungan error. Lampirkan tabel dan gambar grafiknya di file penjelasan, serta perhitungan nilai $N$.

   4. Buatlah script file soal_2d.m berisi penggunaan metode nonlinear finite difference untuk mengaproksimasi solusi dari MNB tersebut. Bandingkan dengan solusi analitik, sertakan perhitungan error. Lampirkan tabel dan gambar grafiknya di file penjelasan, serta perhitungan nilai $N$.

   5. Di file penjelasan, berikan argumen Anda: di antara kedua metode tersebut, apakah ada metode yang jelas lebih baik untuk masalah ini, ataukah sama-sama cukup baik?