Tugas 3 Praktikum Persamaan Diferensial Numerik 2024 Genap: PDP Numerik

Semester Genap Tahun Ajaran 2023/2024

Kembali ke Persamaan Diferensial Numerik

Petunjuk Umum

  1. Tugas ini dikerjakan secara individu.

  2. Terdapat tiga (3) soal yang harus dijawab.

  3. File-file yang harus diunggah terdiri dari:

    1. Beberapa function file sesuai kebutuhan. Penamaan untuk function file dibebaskan (tentunya nama fungsinya harus menyesuaikan), selama masih relevan dengan isi fungsinya (misalnya, dilarang menamakan function file adamsorde5.m jika isinya adalah metode Runge-Kutta).

    2. Sejumlah script file sesuai ketentuan soal.

    3. Satu file .pdf (format penamaan: “penjelasan.pdf”) yang berisi penjelasan terkait jawaban kalian, sesuai permintaan soal. Pembuatannya bebas apakah menggunakan Word, LaTeX, atau yang lainnya. Jangan lupa tuliskan nama lengkap, NPM, kelas, dan judul “Tugas 3 Persamaan Diferensial Numerik 2024 Genap”.

  4. Semua file disatukan dalam satu file .zip dengan format penamaan:

    [Nama Lengkap]_[NPM]_[Kelas SIAK]_Tugas 3_Prak PDNum.zip

    Contoh: Kibutsuji Muzan_2201234567_C_Tugas 3_Prak PDNum.zip

  5. Batas pengumpulan tugas ini adalah Jumat, 14 Juni Minggu, 16 Juni 2024, pukul 23.59 WIB. Tugas dikumpulkan sesuai dengan kelas SIAK (link akan selalu sama untuk semua tugas praktikum PDNum):

    Kelas A: https://forms.gle/sdSZAfFZJkNu9rK68

    Kelas B: https://forms.gle/wdvZJ4c1UvifV5gEA

    Keterlambatan akan dikenakan pengurangan nilai.

  6. Dilarang dengan keras melakukan plagiarisme, baik mencontek ataupun dicontek. Jika terdapat mahasiswa yang terindikasi melakukan plagiarisme, maka mahasiswa tersebut memperoleh nilai 0 untuk tugas ini. Namun, Anda sangat dianjurkan memanfaatkan apapun yang ada di modul praktikum.

  7. Apabila ada pertanyaan, harap hubungi CP:

    Bisma (LINE: bisma_joyosumarto)

    Karina (LINE: karinac12)

Soal

Tugas ini terdiri dari soal 1a-1d, 2a-2f, dan 3a-3e.

  1. Diberikan masalah persamaan transport (adveksi):

    \[u_t + 2u_x = 0, \quad 0 < x < 2, \quad 0 < t < 3\]

    \[u(x,0) = e^{-x^2}, \quad 0 \le x \le 2\]

    \[u(0,t) = e^{-4t^2}, \quad 0 < t < 3\]

    \[u(2,t) = e^{-4\left(1-t\right)^2}, \quad 0 < t < 3\]

    yang memiliki solusi eksak \(u(x,t) = e^{-\left(x-2t\right)^2}\).

    Dengan \(\Delta x = 0.2\) dan \(\Delta t = 0.1\),

    1. Di file penjelasan, cocokkan PDP di atas dengan bentuk umum persamaan transport

      \[u_t + du_x = 0, \quad \text{xb} < x < \text{xu}, \quad \text{tb} < t < \text{tu}\]

      \[u(x,\text{tb}) = f(x), \quad \text{xb} \le x \le \text{xu}\]

      \[u(\text{xb},t) = \text{lb}(t), \quad \text{tb} < t < \text{tu}\]

      \[u(\text{xu},t) = \text{rb}(t), \quad \text{tb} < t < \text{tu}\]

      yaitu tentukan nilai \(d\), nilai \(\text{xb}\), nilai \(\text{xu}\), nilai \(\text{tb}\), nilai \(\text{tu}\), fungsi \(f(x)\), fungsi \(\text{lb}(t)\), dan fungsi \(\text{rb}(t)\).

    2. Buatlah script file soal_1b.m berisi penggunaan metode Courant-Isaacson-Rees untuk mengaproksimasi solusi dari PDP tersebut. Lampirkan gambar grafiknya (termasuk grafik solusi analitik) di file penjelasan (putar dulu grafiknya agar lebih terlihat). Seberapa mirip hasilnya dengan solusi analitik?

    3. Buatlah script file soal_1c.m berisi penggunaan metode Richardson untuk mengaproksimasi solusi dari PDP tersebut. Lampirkan gambar grafiknya di file penjelasan (putar dulu grafiknya agar lebih terlihat). Apakah solusi numeriknya stabil?

    4. Buatlah script file soal_1d.m berisi penggunaan metode Lax untuk mengaproksimasi solusi dari PDP tersebut. Lampirkan gambar grafiknya di file penjelasan (putar dulu grafiknya agar lebih terlihat). Seberapa mirip hasilnya dengan solusi analitik?

  2. Diberikan masalah nilai awal-batas

    \[\begin{aligned} u_t &= 3u_{xx}, \quad 0 \le x \le \pi, \quad 0 < t \le T, \\ u(0,t) &= u(\pi, t) = 0, \quad 0 < t \le T, \\ u(x,0) &= 3\sin{(2x)} - 6\sin{(5x)}, \quad 0 \le x \le \pi \end{aligned}\]

    dan setelah menggunakan metode pemisahan variabel di UAS PDP tahun ini diketahui solusi eksaknya adalah

    \[u(x,t) = 3e^{-12t} \sin{(2x)} - 6e^{-75t} \sin{(5x)}\]

    Dengan \(T=2\),

    1. Di file penjelasan, uraikan pemeriksaan diskriminan dari PDP tersebut untuk memastikan bahwa PDP di atas tergolong parabolik.

    2. Di file penjelasan, cocokkan PDP parabolik di atas dengan bentuk umum persamaan panas

      \[\frac{\partial u}{\partial t} (x,t) = \alpha^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t), \quad \text{xb} \le x \le \text{xu}, \quad \text{tb} < t \le \text{tu},\]

      \[u(x,\text{tb}) = f(x), \quad \text{xb} \le x \le \text{xu}\]

      \[u(\text{xb},t) = \text{lb}(t), \quad \text{tb} < t \le \text{tu}\]

      \[u(\text{xu},t) = \text{rb}(t), \quad \text{tb} < t \le \text{tu}\]

      yaitu tentukan nilai \(\alpha^2\), nilai \(\text{xb}\), nilai \(\text{xu}\), nilai \(\text{tb}\), nilai \(\text{tu}\), fungsi \(f(x)\), fungsi \(\text{lb}(t)\), dan fungsi \(\text{rb}(t)\).

    3. Dengan \(h = \Delta x = \frac{\pi}{10}\) dan \(k = \Delta t = 0.1\), uraikan perhitungan nilai \(\lambda\) di file penjelasan. Apakah \(\lambda \le \frac{1}{2}\)?

    4. Buatlah script file soal_2d.m berisi penggunaan metode forward-difference untuk mengaproksimasi solusi dari PDP tersebut. Lampirkan gambar grafiknya (termasuk grafik solusi analitik) di file penjelasan. Apakah solusi numeriknya stabil?

    5. Buatlah script file soal_2e.m berisi penggunaan metode backward-difference untuk mengaproksimasi solusi dari PDP tersebut. Lampirkan gambar grafiknya di file penjelasan. Seberapa mirip hasilnya dengan solusi analitik?

    6. Buatlah script file soal_2f.m berisi penggunaan metode Crank-Nicolson untuk mengaproksimasi solusi dari PDP tersebut. Lampirkan gambar grafiknya di file penjelasan. Seberapa mirip hasilnya dengan solusi analitik?

  3. Diberikan persamaan gelombang

    \[\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - \frac{1}{16\pi^2} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0, \quad 0 < x < 0.5, \quad 0 < t < 0.5\]

    \[u(x,0) = 0, \quad 0 \le x \le 0.5\]

    \[\frac{\partial u}{\partial t}(x,0) = \sin{4\pi x}, \quad 0 \le x \le 0.5\]

    \[u(0,t) = u(0.5, t) = 0, \quad t > 0\]

    yang diketahui solusi eksaknya adalah

    \[u(x,t) = \sin{(t)} \sin{(4\pi x)}\]

    1. Di file penjelasan, uraikan pemeriksaan diskriminan dari PDP tersebut untuk memastikan bahwa PDP di atas tergolong hiperbolik.

    2. Di file penjelasan, cocokkan persamaan gelombang di atas dengan bentuk umum

      \[\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}\left(x,t\right) - \alpha^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\left(x,t\right) = 0, \quad \text{xb} < x < \text{xu}, \quad \text{tb} < t < \text{tu}\]

      \[u\left(x,\text{tb}\right) = f\left(x\right), \quad \frac{\partial u}{\partial t}\left(x,\text{tb}\right) = g\left(x\right), \quad \text{xb} \le x \le \text{xu}\]

      \[u\left(\text{xb},t\right) = \text{lb}\left(t\right), \quad \text{tb} < t \le \text{tu}\]

      \[u\left(\text{xu},t\right) = \text{rb}\left(t\right), \quad \text{tb} < t \le \text{tu}\]

      yaitu tentukan nilai \(\alpha^2\), nilai \(\text{xb}\), nilai \(\text{xu}\), nilai \(\text{tb}\), nilai \(\text{tu}\), fungsi \(f(x)\), fungsi \(g(x)\), fungsi \(\text{lb}(t)\), dan fungsi \(\text{rb}(t)\).

    3. Buatlah script file soal_3c.m untuk mengaproksimasi solusi dari persamaan gelombang tersebut dengan \(m=4\) dan \(N=4\). Lampirkan hasil output grid-grid, error totalnya, dan gambar grafiknya di file penjelasan.

    4. Di file penjelsan, tulis ulang output grid aproksimasi dengan rapi (misalnya menggunakan fitur tabel di Word atau LaTeX) disertai nilai \(x\) di tiap kolom (sebelah bawah) dan nilai \(t\) di tiap baris (sebelah kiri).

      Contohnya, hasil output berikut dengan \(x_0=0\), \(t_0=0\), \(\Delta x = 0.25\) dan \(\Delta t = 0.25\),

          0  -0.7071  -1.0000  -0.7071        0
    0  -0.5000  -0.7071  -0.5000        0
    0        0        0  -0.0000        0
    0   0.5000   0.7071   0.5000        0
    0   0.7071   1.0000   0.7071   0.0000

      ditulis dengan rapi menjadi

      \(t_4 = 1\) 0 -0.7071 -1.0000 -0.7071 0
      \(t_3 = 0.75\) 0 -0.5000 -0.7071 -0.5000 0
      \(t_2 = 0.5\) 0 0 0 -0.0000 0
      \(t_1 = 0.25\) 0 0.5000 0.7071 0.5000 0
      \(t_0 = 0\) 0 0.7071 1.0000 0.7071 0.0000
      \(x_0=0\) \(x_1=0.25\) \(x_2=0.5\) \(x_3=0.75\) \(x_4=1\)

      \(\)

    5. Di file penjelsan, tulis ulang output grid solusi eksak dengan rapi (misalnya menggunakan fitur tabel di Word atau LaTeX) disertai nilai \(x\) di tiap kolom (sebelah bawah) dan nilai \(t\) di tiap baris (sebelah kiri).